Tipologie di fattori nei disegni sperimentali

Nei disegni sperimentali si ha spesso a che fare con variabili indipendenti categoriali: i fattori. Questi, comunemente, vengono suddivisi in due tipologie: quelli “between subjects” e quelli “within subjects”. Tuttavia, tale suddivisione non è l’unica possibile: in questo piccolo tutorial cercheremo di capire meglio cosa sono i fattori “fixed” e “random” di cui si sente spesso parlare e cosa si intende per fattori “nested” e “crossed”. Tali concetti sono infatti la base per comprendere al meglio alcune moderne metodologie di analisi dei dati che ormai vanno sempre più imponendosi: i modelli gerarchici/multilivello e i modelli a effetti misti.

Fattori between e fattori within

La denominazione “between” e “within” deriva direttamente dall’analisi della varianza, dove “between” indica la varianza tra i gruppi e “within” indica la varianza entro i gruppi. La differenza tra queste due tipologie di fattori è la più comune e ben documentata anche sul web, per cui eviterò di dilungarmi.

Brevemente, un fattore between è una variabile i cui livelli raggruppano delle osservazioni provenienti da unità statistiche differenti. Un esempio può essere il sesso, fattore a due livelli (maschio/femmina): se un soggetto appartiene al gruppo “maschi” non potrà, per ovvi motivi, far parte anche del gruppo “femmine”, e viceversa. Allo stesso modo, se una volta campionati dei soggetti, ad alcuni viene somministrata una terapia A, ad altri viene somministrata una terapia diversa, B, e ad altri ancora viene somministrata una terapia C, i tre livelli del fattore terapia (A, B e C) raggrupperanno osservazioni provenienti da soggetti diversi, per cui anche questo fattore sarà di tipo between.

Diversamente, in un fattore within i livelli raggruppano osservazioni provenienti dalle medesime unità statistiche. Riprendendo l’esempio fatto poco fa, se agli stessi soggetti venisse somministrato prima il trattamento A, poi il trattamento B e poi il trattamento C, allora questo fattore sarà detto within.
Questi fattori sono chiamati anche “a misure ripetute”, in quanto su ogni soggetto viene effettuata più volte la misurazione di una variabile dipendente. Personalmente trovo poco felice questa denominazione, in quanto un fattore “within” come quello descritto nell’esempio prevede sì la ripetizione della misurazione, ma in condizioni sperimentali diverse. Spesso, si preferisce chiamare “misura ripetuta” la ripetizione della misurazione nella medesima condizione sperimentale.

Fattori fissi e fattori casuali

Un fattore è detto fisso (fixed) se i suoi livelli non sono scelti casualmente ma sono stati determinati a tavolino dallo sperimentatore. Il fattore trattamento dell’esempio precedente è fisso, perché chi ha pianificato la ricerca è interessato a valutare proprio l’effetto dei trattamenti A, B e C, e non di altri trattamenti: la scelta dei livelli A, B e C non è stata casuale ma motivata da specifici interessi di ricerca, e la valutazione delle differenze che si possono presentare alla somministrazione di questi tre trattamenti costituisce uno scopo primario della sperimentazione.
Questo, si badi bene, a prescindere dal fatto che il fattore sia between o within. Il fattore trattamento potrebbe essere costruito sia come between che come within, ma comunque sarebbe di tipo fisso.
Tra i fattori fissi rientrano anche tutti quei fattori, come il sesso, per i quali i livelli considerati sono tutti quelli possibili presenti nella popolazione.

Un fattore è detto casuale (random) quando i suoi livelli sono solo un campione casuale di tutti i possibili livelli presenti nella popolazione. Per esempio, il fattore “soggetto” è di tipo casuale: lo sperimentatore, normalmente, non è interessato a valutare le differenze tra gli specifici soggetti campionati; inoltre, la variabilità che sussiste fra i diversi livelli (ovvero i singoli soggetti) normalmente non è sotto analisi sperimentale, bensì è considerata come errore.
A un fattore casuale possono essere aggiunti livelli al fine di aumentare la potenza dell’analisi statistica, mentre quest’operazione non avrebbe senso su un fattore fisso i cui livelli sono, appunto, in numero fisso.

Per fare un esempio: immaginiamo di dover valutare la differenza fra nord e sud Italia su una variabile dipendente, e scegliamo cinque città del sud e cinque città del nord da cui campionare alcune persone da intervistare. In una ricerca di questo tipo avremo tre fattori: uno fisso (l’area: nord o sud Italia) e due casuali: il fattore città (sono state scelte solo alcune città fra tutte quelle campionabili) e il fattore soggetto (all’interno di ogni città verranno intervistati solo alcuni fra tutti i possibili soggetti campionabili).

La classica analisi della varianza considera tutti i fattori come fissi, e la variabilità attribuibile alle differenze fra i livelli di fattori casuali diventa errore. Modelli statistici più sofisticati sono in grado di prendere in considerazione anche i fattori casuali, e per questo vanno sotto il nome di modelli a effetti misti, perché considerano l’effetto sia di una componente fissa che di una componente casuale.

Fattori annidati e fattori incrociati

Due fattori sono fra loro annidati (nested) quando ogni livello di uno si incrocia con un solo livello dell’altro. Nell’esempio riportato sopra, città e cittadini sono “nested”, in quanto ogni persona potrà essere residente in una sola città. Quindi, i livelli del fattore “cittadini” sono annidati all’interno del fattore “città”. I dati hanno una struttura gerarchica: i cittadini si trovano nello strato più profondo e le città nello strato più superficiale.

Due fattori si dicono invece incrociati (crossed) quando tutti i livelli di uno si presentano in concomitanza di tutti i livelli dell’altro; è quello che succede di solito negli studi di laboratorio, quando vengono incrociati i livelli dei fattori per delineare tutte le possibili condizioni sperimentali.

Non solo i fattori fissi possono essere incrociati, ma anche quelli casuali (e, viceversa, anche i fattori fissi possono essere annidati). Per esempio, in un test per la valutazione della memoria, immaginiamo di somministrare una lista di parole delle persone: avremo sia il fattore casuale “soggetto” che il fattore casuale “lista”, i cui livelli sono le singole parole. A ogni soggetto viene chiesto di ricordare ogni parola, per cui i due fattori risulteranno incrociati.

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Commenti per “Tipologie di fattori nei disegni sperimentali

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